Bruchrechnen

Bruchrechnen ohne Brechreiz

Nie wieder Probleme mit dem Bruchrechnen
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Bruchzahlen – Erklärungsfilm

Das Bruchrechnen wird in diesem Post grundlegend dargestellt. Es wird der Begriff der Bruchzahl erläutert und auch Zähler und Nenner erklärt.

Primzahlen

Schon seit Jahrhunderten befassen sich Wissenschaftlicher mit den Primzahlen. Einfach ausgedrückt handelt es sich um diejenigen Zahlen, die sich nur durch sich selbst oder 1 dividieren lassen. Bisher hat man noch nicht bewiesen, dass die größte Primzahl bekannt ist.

Primfaktorenzerlegung

Eigentlich sollte man schreiben „Zerlegung in Primfaktoren“. Damit ist gemeint, dass man die bei einer Addition von Bruchzahlen auftretenden Nenner in Multiplikationsaufgaben umwandelt, die nur aus Primzahlen besteht. Mit Hilfe dieser Primfaktorenzerlegung findet man den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner recht einfach und muss nicht mit riesigen Zahlen rechnen.

Primfaktorzerlegung, kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler

Dieser Post ist eine Ergänzung zum vorhrgehenden Post. Man kann mit Hilfe der Primfaktoren auch Zähler und Nenner vergleichen. Primfaktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorhanden sind, können gestrichen werden oder weggelassen werden. Diesen Vorgang bezeichnet man dann als Kürzen. Das Ergebnis sind dann kleinere und somit übersichtlichere Zahlen.

Erweitern und Kürzen

Erweitern und Kürzen sind Rechenoperationen, die sehr oft das größte Unverständnis hervorrufen. Dabei handelt es sich um Vorgänge, denen man im Alltag beim Umgang mit Geld immer wieder begegnet. Das Erweitern kann man mit dem Wechseln von großem Geld in Kleingeld vergleichen. Das Kürzen entspricht dann dem Wechseln von Kleingeld in großes Geld. Am Wert ändert sich dabei aber nichts.

Brüche und gemischte Zahlen, Addition und Subtraktion

Die bisherigen Post stellen nur die Vorbereitung für die weiteren Aufgaben im Bereich Bruchrechnen dar.

Bruchrechnen: das musst Du wissen!

 

Bruchrechnen – Tipps & Tricks

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Bruchrechnen: Bruchzahlen – Erklärungsfilm

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Bruchzahlen

Was sind Bruchzahlen oder auch gemeine Brüche?

Viele Erwachsene werden noch heute empfinden, dass Brüche eine gemeine Angelegenheit waren. Sie sind deshalb mit der Bezeichnung „Gemeine Brüche“ einverstanden.

Dabei hat dieser Name nichts mit irgendwelchen Gemeinheiten zu tun, Dieser Name stellt lediglich eine Abkürzung für den Begriff: „Allgemeine Brüche“ dar. So wollte man die Unterscheidung zu den Dezimalbrüchen herstellen.

Der obige Film zeigt auf, wie den Schülern der Begriff der Bruchzahlen vermittelt wird.

Der Begriff der Bruchzahl  oder des Bruchs wird hier von der Tätigkeit des Zerbrechens eines  Gegenstandes hergeleitet.

Dieses Vorgehen bezeichnet man als kindgerecht.

Kindgerecht oder Kinderverwirrspiel

Ich neige eher zu der zweiten Bezeichnung und werde es auch erklären.
Nehmen wir einfach eine Torte. Diese wird in 6 gleiche Teile aufgeteilt.
Jedes dieser sechs Teile stellt nun ein Sechstel der ganzen Torte dar.

Geschrieben wird das Ganze dann so:  6/6.

Diese Schreibweise ist sehr verbreitet, gilt aber als nicht ganz korrekt.

Links sehen Sie die den Vorschriften entsprechende Schreibweise einer Bruchzahl. Leider steht mir diese Schreibweise im regulären Zeichensatz von WP nicht zur Verfügung.
Auch bei den Sonderzeichen gibt es diese Schreibweise nicht. Ich musste diese Schreibweise mit einem Grafikprogramm herstellen und als Grafik einfügen.

Ich muss auf die Schreibweise mit dem schrägen Bruchstrich ausweichen.

Das Einzelteil bezeichnet man als 1/6.

Man setzt die Bruchzahlen immer in ein Verhältnis zu einem Ganzen. Allgemein bezeichnet man dieses Vorgehen als besonders kindgerecht. Schauen Sie sich dieses Video genau an, damit Sie wissen, wie es im Mathematikunterricht zugeht. Ich stehe dieser Vorgehensweise sehr skeptisch gegenüber.

Ich stehe ich diesem Vorgehen sehr kritisch gegenüber

Bei diesem Vorgehen suggeriert man den Kindern eine tatsächlich vollzogene Handlung. In Wirklichkeit wird aber keine Handlung vollzogen. Es wird nur die Vorstellung erzeugt, eine Handlung vollzogen zu haben. Die Handlung findet also nicht wirklich, sondern nur in Gedanken.
Ich halte diesen Ansatz nicht für  richtig!
Wer aber meint, dass seinem Kind dieser Ansatz nützt, der sollte seinem Kind die Möglichkeit der praktischen Durchführung geben.

 

Mit diesem Material ist es dem Kind wirklich möglich, die Zerlegung praktisch, sprich mit der Tätigkeit seiner Hände durchzuführen.

 

Die kindliche Vorstellung an einen tatsächlichen Gegenstand führt aus meiner Sicht in späteren Phasen des Umganges mit den Bruchzahlen zu erheblichen Problemen. Siehe dazu die  Seite: „Haptische Hilfen“!

Ich möchte das mal an einem Beispiel erläutern. Für eine Geburtstagsfeier erwartet man 6 Gäste und schneidet die Torte in 6 gleiche Stücke. Völlig unerwartet kommt ein siebter Gast. Mathematisch ist diese Situation völlig problemlos. Mathematisch Teilt man die Torte auf sieben Personen auf. Jede Person erhält dann ein Siebtel (=1/7).

Wie aber soll das in der Praxis gehen?

Ich kann die Torte nicht mehr zusammen setzen und neu aufteilen. Ich muss von jedem der vorhandenen sechs Tortenstücke ein Siebtel (=1(7) abschneiden. Eigentlich ist es unvorstellbar, dass es jemandem gelingen könnte, jedes der vorhandenen sechs Tortenstücke in sieben gleiche Teile aufzuteilen.

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Bruchrechnen: Primzahlen

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Was ist eigentlich eine Primzahl?

Eine Primzahl ist, wie schon das Video erklärt hat, eine Zahl, die man nur durch sich selbst oder durch 1 teilen kann.

Manche sehen die 2 als kleinste Primzahl an.

Je länger man die Zahlenreihe aufbaut, desto größer werden meistens die Abstände zur nächsten Primzahl.
Betrachten Sie sich einmal die nachfolgende Reihe der Primzahlen:

1 – 2 – 3 – 7 – 11 – 13  –  17  – 19 – 23 – 29 – 37 usw.

Aber keine Regel ohne Ausnahme. So ist der Abstand zwischen der 13 und der 17 größer als derjenige zwischen 17 und 19.

Aus meiner Sicht ist es für das gesamte Bruchrechnen von Vorteil, wenn man sich intensiv mit den Primzahlen befasst.

Wann braucht man eine Primzahl?

Wenn man die Kenntnisse im Bruchrechnen systematisch aufbaut,  braucht man die Primzahl.

Ohne die Primzahl wird gezwungen werden, mit Bruchzahlen zu arbeiten, die einen mehrstelligen Nenner haben. Ziel muss es sein, mit Nennern zu arbeiten, die möglichst klein sind.

Diese widerstrebt dem natürlichen Erfahrungshintergrund. Allgemein hat man ja im Leben die Erfahrung gemacht, dass größere Zahlen ein Mehr bedeuten.

Im Bruchrechnen trifft diese Vorstellung nicht zu.
Denn dort ist das Einzelteil um so kleiner, je größer die Zahl unter dem Bruchstrich ist.

Das ist ein eklatanter Widerspruch zu unseren bisherigen Erfahrungen.

Zerlegung in Primfaktoren

Dies wurde und wird immer wieder auftauchen. Es gibt eine Vielzahl von anderen Beiträge, die dieses ansprechen.

Will man Bruchzahlen addieren oder subtrahieren, braucht man einen Hauptnenner.

Bei der Suche des Hauptnenners ist diese Zerlegung sehr hilfreich.

Wie hilft die Zerlegung in Primfaktoren

Das wird in anderen Beiträgen ausführlich erläutert. An dieser Stelle sollen nur wenige Informationen dazu gegeben werden.

Die Zerlegung in Primfaktoren hilft diejenigen Faktoren auszufiltern, die man für die Bildung des Hauptnenners weglassen kann.

Schüler, möglicherweise auch der eine oder andere Erwachsene neigt bei der Bestimmung zu einer Art von Bequemlichkeit.

Diese besteht darin, dass man jeden Zähler (die Zahl auf dem Bruchstrich) mit jedem anderen Nenner multipliziert.

Dieses Vorgehen ist nicht falsch, führt aber zu sehr großen Nennern.

Große Nenner fördern die Unübersichtlichkeit und führen zu einer Häufung von Fehlern.

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https://www.youtube.com/watch?v=liLc-XWQa-Q

Bruchrechnen: Primfaktorenzerlegung

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Der Hauptnenner

Man stelle sich einmal die folgende Aufgabe vor:

3/7 + 4/5

Mancher wird jetzt möglicherweise denken, dass dies eine einfache Angelegenheit. Ich warne ausdrücklich davor, was jetzt zu lesen ist, ist definitiv falsch. Es dient nur zur Demonstration möglicher Fehler!)

3 +4 = 7;  7 + 5 = 12; folglich: 3/7 + 4/5 =7/12.

Das wäre wirklich zu einfach, wenn es so ginge.
Wer es nicht glauben will, dass obiges falsch ist, der möge einmal seinen Taschenrechner zu Hilfe nehmen und folgendes tun:

3 : 7 =

4: 5 =

Danach müssen die beiden Ergebnisse addiert werden und mit dem Ergebnis aus 7:12 verglichen werden.

Man wird eine nicht unerhebliche Differenz zwischen beiden Ergebnissen erkennen.

Man muss die Bruchzahlen gleichnamig machen, wie der Fachmann sagt oder man muss den Hauptnenner finden.

Wie findet man den Hauptnenner?

Den Hauptnenner findet man mit Hilfe der Zerlegung in Primfaktoren.
Der Hauptnenner errechnet sich aus den vorhandenen Primfaktoren, wobei jeweils nur die höchste Anzahl Berücksichtigung findet.

Zur Erläuterung:
heißt es beim Nenner 1  unter anderem  2 • 3 und bei Nenner 2:  2•2•5, so werden für den Hauptnenner nur gebraucht:   2•2•5•3
Die 2 des ersten Nenners braucht man nicht, weil diese beim zweiten Nenner schon vorhanden ist.

Im obigen Beispiel:

3/7 + 4/5 erkennt man bei der Zerlegung in Primfaktoren, dass sowohl die 7 als auch die 5 Primzahlen sind.

Man benötigt also beide um den Hauptnenner zu erreichen. Dieser beträgt in diesem Falle: 7 • 5 = 35.

Man muss also den Nenner 7 mit 5 und den Nenner 5 mit 7 multiplizieren.

Unausgerechnet sieht das so aus:

3•5/7•5 + 4•7/5•7

Zwischenergebnis: 15/35 + 28/35 = 43/35

Vergleichen Sie das einmal mit ihrem obigen Ergebnis und Sie werden bis auf kleine Rundungsdifferenzen zum gleichen Ergebnis gekommen sein.

Zur Wiederholung aus dem vorherigen Beitrag:

Die Zerlegung der Nenner in Primfaktoren ist eine sehr hilfreiche Angelegenheit beim Finden des Hauptnenners, dies insbesondere dann,
wenn man nicht mit „unheimlich großen“ und damit schlecht handbaren
Hauptnennern arbeiten will. Beim Üben der Zerlegung in Primfaktoren
entwickelt sich ein Gefühl für die Zusammenhänge der Zahlen. Dies hilft
beim Kürzen von Brüchen und später dann auch bei der Prozent-/Zins-
und Promillerechnung.

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Bruchrechnen: Erweitern und Kürzen

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Erweitern und Kürzen

Erweitern und Kürzen bedeutet große Magie für viele Schüler.

Rein vom Gefühl her viele Schüler, dass sich an den Brüchen tatsächlich etwas verändert.

1/2 und 2/4 sehen tatsächlich unterschiedlich aus.

Der äußere Anschein spricht schon seht für dieses Gefühl.

Dieses Gefühl zu beseitigen und durch die Erkenntnis zu ersetzen, dass weder das Erweitern noch das Kürzen etwas am Wert der Bruchzahl ändern, ist keine ganz leichte Aufgabe.

Woher kommt das falsche Gefühl, dass Erweitern und Kürzen am Bruch etwas ändern.

Meines Erachtens liegt es an der Art und Weise, wie die Schüler mit den Brüchen in Kontakt gekommen sind.

Die Schüler haben den Bruchbegriff kennengelernt in der Vorstellung, dass der Bruch einen bestimmten Teil eines Ganzen darstellt.

Wird nun der Bruch erweitert, gibt es viel mehr Teile als bisher.

Dass diese vielen Teile den gleichen Wert haben, wie die bisherigen großen Teile, wird gefühlsmäßig nicht rasch erfasst.

Dieses Gefühl erinnert an die kleinkindliche Freude über die vielen kleinen Geldstücke, während eine größere Münze nicht so viel Freude bereitete.

Wie geht man gegen dieses falsche Gefühl an?

Man sollte den Schülern diese Vorgänge anhand tatsächlicher Lebenserfahrungen veranschaulichen.

Jeder Schüler hat schon einmal Geld gewechselt. Er hat einen 50€ bestimmt schon einmal in kleineres Geld umgetauscht.

Danach hatte er sicherlich mehrere Scheine oder auch mehrere Scheine und noch Münzen. Insgesamt hatte er aber nach dem Wechseln genau so viel wie vorher.

Man kann also das Erweitern von Brüchen mit dem Wechseln von großen Scheinen in kleine Scheine vergleichen. Das Kürzen hingegen stellt den umgekehrten Vorgang dar.

Diese Ausführungen beschreiben nicht die formale Durchführung der genannten Operationen, sondern sollen das Denken in die richtige Richtung lenken.

Wie führt man Kürzen und Erweitern durch?

Man erweitert einen Bruch dadurch, dass man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Diese Zahl ist die Erweiterungszahl. Diese findet man im Rahmen der Zerlegung in Primfaktoren, wenn man diejenigen Faktoren nimmt, die der zu erweiternde Nenner nicht enthält.

Man kürzt einten Bruch dadurch, dass man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Die Kürzungszahl findet man rasch, wenn man Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt. Diejenigen Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorhanden sind, lässt man dann im nächsten Schritt einfach weg.

Ich habe es mir Gewohnheit gemacht, diese einfach durchzustreichen.

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Bruchrechnen: Addition und Subtraktion

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Brüche addieren oder subtrahieren

Brüche addieren oder subtrahieren(oder auch gemischte Zahlen (=ganze Zahlen mit Bruchzahlen verbunden)  erscheint manchen recht kompliziert.

Viele sagen sich im Stillen: „Warum macht man das eigentlich so kompliziert?

Für diese Frage habe ich volles Verständnis. Die Umwandlung in eine Dezimalzahl würde doch die Rechnerei sehr vereinfachen.

Dem kann man rein oberflächlich betrachtet zustimmen. Aber wenn es um Genauigkeit geht, hat das Rechnen mit gemeinen Brüchen erhebliche Vorteile.

1/3 als Dezimalzahl geschrieben führt zu einer unendlichen Dezimalzahl: 0,3333…. nicht enden wollend.

Im Alltag kommt man mit dem auf 0,33 gerundeten Ergebnis zurecht.

Wenn es aber um Präzision, also um höchstmögliche Genauigkeit geht hat der gemeine Bruch erhebliche Vorteile:

1/3 einer Strecke von 3 000m ist

  • mit der Dezimalzahl gerechnet: 9999,9999….. nicht enden wollend lang
  • mit der Bruchzahl 1/3 gerechnet: 1 000m genau.

Durch die übliche Rundung wird man auch bei der Dezimalzahl bei 1 000m landen. Aber ich denke, dieses einfache Beispiel hat aufgezeigt, zu welch gewaltigen Abweichungen es im Ergebnis kommen kann. Dies ist besonders bei großen Dimensionen der Fall.

Man muss die Regeln kennen und einhalten

Brüche addieren oder subtrahieren muss nicht kompliziert sein. Man muss nur bestimmte Regeln einhalten.

Bei der Addition kann man beispielsweise zunächst einmal die Ganzen
addieren und sich erst anschließend um die Addition der Bruchzahlen kümmern.
Das hat den Vorteil, dass man mit insgesamt kleineren Zahlen rechnen kann.
Das ändert aber nichts an der Notwendigkeit, dass man für die Addition der Bruchzahlen dennoch für einen Hauptnenner sorgen muss.

Erst nur die Ganzen bearbeiten geht bei der Subtraktion nur bedingt.

Dieses Vorgehen, sich erst nur um die ganzen Zahlen zu kümmern, ist für das Subtrahieren nur eingeschränkt empfehlenswert.

Subtrahiert man erst nur die Ganzen, kann es sein, dass die noch verbliebenen Bruchzahlen nicht ausreichen, um die Subtraktion durchführen zu können.
In einem solchen Fall wird es notwendig, die noch vorhandenen ganzen Zahlen in Bruchzahlen umzuwandeln. Die so neu entstandenen Bruchzahlen werden als unechte Brüche bezeichnet.

Wie wandelt man ganze oder gemischte Zahlen in unechte Brüche um?

Das ist im Grunde ein sehr einfacher Vorgang. Die ganze Zahl wird mit dem Nenner der dazugehörigen Bruchzahl multipliziert. Zu diesem Ergebnis addiert man den schon vorhandenen Zähler. Schon ist der unechte Bruch fertig.

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Bruchrechnen – Tipps & Tricks

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Rechnen mit Brüchen

Bildquelle: YouTube/Google Inc.

Wenn man von den Problemen der Menschen hört, die diese
mit Bruchzahlen und der Bruchrechnung haben, so fällt mir immer ein meiner ein Witz ein.
Dieser zeigt meiner Meinung nach deutlich,  wie wenig ausgeprägt
bei manchen Personen, doch das Verständnis für das Wesen
der Brüche ist.

In diesem Witz berichtet der Manager eines Fußballprofis,
dass er mit den Geschäftsführern des Fußballvereins zugunsten
des Profis eine Erhöhung des Verdienstes um 1/3 erreicht habe.

Der Profi soll völlig entrüstet geäußert haben, dass er damit
absolut nicht zufrieden sei, sondern dass er mindestens eine
Erhöhung um 1/4 begehre.

Mehr ist nicht immer mehr!

In diesem Witz steckt wohl ein Körnchen Wahrheit. Das Bruchrechnen, verlangt doch teilweise, dass man von alt hergebrachten
Erfahrungen Abschied nehmen muss. So besagt doch die allgemeine Lebenserfahrung, dass eine größere Zahl ein Mehr bedeutet.
Und nun soll diese bisherige Erfahrung völlig falsch sein?

Jetzt plötzlich bedeutet die größere Zahl im Nenner weniger.

Logisches Denken gegen Gefühl

Sich von dem Gefühl, die größere Zahl bedeutet mehr, zu lösen, ist nicht einfach.

Man muss sich klar machen, dass der Nenner die Größe des einzelnen Teiles bezeichnet.

Hat man diesen Prozess abgeschlossen, dann erkennt man ganz klar, dass der vierte Teil einer Sache auf jeden Fall kleiner sein muss als der dritte Teil dieser Sache.

Diese Feststellung ist eine rein logische Schlussfolgerung. Diese muss erst das erlebte Gefühl überwinden.

Wie vermeidet man die Entstehung dieses Gefühls

Meiner Ansicht nach entsteht dieses Gefühl dadurch, dass man die Bruchzahl mit konkreten Gegenständen verbindet.
Man spielt den Kindern konkretes praktisches Handeln vor. Dieses erfolgt nicht wirklich, sondern nur in der Vorstellung.
Diese Vorstellung wird durch Bilder erzeugt.
Für die mathematischen Operationen mit den Brüchen muss sich das Kind wieder von den Bildern lösen. Mit den Bildern im Kopf und die Bindung an konkrete Gegenstände werden manche Operationen undurchführbar.

Deswegen gehe ich einen anderen Weg, der im Ebook ausführlich dargestellt wird.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Hintergrundmusik: