Gleichungen: Wie man Gleichungen unter Verwendung des Waagemodells löst

 

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Gleichungslehre mit Waagemodell

Gleichungslehre mit Waagemodell ist seit Jahrzehnten der Ansatz die Schüler mit Gleichungen vertraut zu machen.

Man will an der Waage erklären, wie sich Änderungen auf der einen Seite der Waage auf deren anderen Seite auswirken müssen.

In den meisten Fällen wird aber nicht konkret mit einer tatsächlichen Waage gearbeitet, sondern nur mit Abbildungen der Waage.

Gleichungen mit Waagemodell einzuführen, halte ich für problematisch.

Anhand dieses Bildes werde ich die Problematik erklären.
Wir sehen in der einen Waagschale einen Apfel, in der anderen Waagschale eine Paprika.

Bei der Einführung in die Gleichung mit Hilfe des Waagemodells erklärt man, dass man auf der einen Seite der Waage beispielsweise etwas wegnehmen muss. Der Schüler soll das, was er wegnimmt rechts von der Gleichung hinter einem Strich / notieren. Dabei muss er auch das richtige Vorzeichen dazu schreiben.

Konkret!
Was soll der Schüler am Apfel wegnehmen?
Wie soll er das notieren?

Die Handlungen an der Waage werden nur in Gedanken, aber nicht mit der Hand vorgenommen.

Meines Erachtens erkennt man deutlich, dass dieses Wegnehmen in der Praxis so nicht funktionieren kann.

Das Waagemodell versucht einen Vorgang, der eigentlich nur auf der geistigen Ebene stattfindet, durch die Vorstellung einer tatsächlichen Handlung verständlich zu machen.

Dem Schüler wird eine konkrete Handlung nur vorgegaukelt.

Der Schüler befindet sich gedanklich zunächst auf einer höheren Abstraktionsebene.

Aus dieser wird er herausgerissen. Er muss sich auf die Ebene einer scheinbar praktischen Handlung begeben.

Vor dort versucht man ihn wieder auf die Abstraktionsebene zu bringen, auf der er sich schon befand.

Dieser Weg ist üblich.

Allerdings sind manche Schüler damit überfordert.

Sie bleiben auf Ebene des gedachten Handlung an Waage stehen.
Der Sprung auf die rein rationale Ebene der abstrakten mathematischen Operation gelingt ihnen nicht.

Mein Anliegen ist es, diesen Problemen aus dem Wege zu gehen.
Lösungen sollen meiner Meinung diese Probleme erst gar nicht aufkommen lassen.

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Gleichungen: Waagemodell

 

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Das „X“!

Ich kann  mich noch gut an meine eigene Schulzeit erinnern, als ich das erste Mal mit dem „X“ konfrontiert wurde.

Da stellte sich die Frage: „Was ist denn das für ein Ding?“

Meiner Ansicht nach wäre es äußerst wichtig, den Kindern die Angst vor dem „X“ zu nehmen. Man muss den Kindern verdeutlichen, dass dieses seltsame Ding nur ein Platzhalter ist.
Es hält nämlich nur den Platz frei für diejenige Zahl, die bei der Stellung der Aufgabe noch unbekannt ist.
Für die Kinder ist diese Beschreibung hilfreich, wenn man ihnen noch klar machen kann, dass Sie dieses „X“ in anderen Form bereits kennen.

In der Grundschule wurde das „X durch ein Leerzeichen in Form eines kleinen Quadrates dargestellt.
In dieses mussten die Kinder dann die gesuchte Zahl eintragen.

Das „X“ in der Gleichung und die Waage

Wie in einem anderen Beitrag schon ausführlich beschrieben, wird der Schüler im Zusammenhang mit dem Thema Gleichungen mit der Waage konfrontiert.
Er soll dabei in Gedanken konkrete Handlungen vollziehen.

Beispiel für ein Gleichung:

3 X – 5 = 7 + X

nächster Schritt:

3X – X = 7 +5
2x = 12
x= 12:2
X = 6

So geht es ganz einfach. Man muss nicht alle Schritte aufschreiben. Das geschah nur hier, um die Schritte aufzuzeigen.

Der Schüler kann das X nicht anfassen. Er kann es weder entfernen. Auch kann er es nirgends hinzufügen.

Man verlangt vom Schüler, dass er sich eine Handlung vorstellen soll, die er nie und nimmer ausführen kann.

Was will man mit dem Waagemodell erreichen?

Der Schüler soll mit dem Waagemodell erkennen, dass man auf der einen Seite der Waage etwas verändern kann.
Er soll dabei beobachten, wie die Waage dadurch ins Ungleichgewicht gerät.
Da aber meistens die konkrete Waage nicht benutzt wird, findet die Beobachtung nur in Gedanken statt.

Der Schüler soll sich also vorstellen, wie die Waage ins Ungleichgewicht geraten ist.

Seine gedankliche Handlung, die Waage ins Ungleichgewicht zu bringen, hat er rechts von der Gleichung nach einem Strich (/) mit dem richtigen Vorzeichen notiert.

Als weitere Aufgabe soll sich der Schüler nun vorstellen, wie er mit der gleichen Handlung auf der anderen Seite der Waage, diese wieder ins Gleichgewicht bringen kann.

In Gedanken und als mathematische Operation funktioniert das schon.
Aber es ist halt nur in Gedanken und nicht praktisch gehandelt.

 

Ich halte deshalb einen anderen Ansatz für einfacher und sicherer.

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Gleichungen und das Waagemodell

 

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Gleichung — kein Teufelswerk

Gleichung — kein Teufelswerk. Zu dieser Erkenntnis müssen die Schülern gelangen. Erst dann, wenn sich diese Überzeugung festgesetzt hat, wird der Umgang mit Gleichungen zu einer Art Kinderspiel.
Für mich ist es nicht so richtig nachvollziehbar, warum Schüler beim Wort Gleichungen rot sehen.

Warum eigentlich?

Ich denke, es liegt mit am „kindgerechten Waagemodell“, das hier  im Video sehr genau dargestellt wird.

Warum führt das „Waagemodell“ zu diesen Problemen?

Das Waagemodell zeigt, dass man auf beiden Seiten der Waage die gleiche mathematische Operation durchführen muss, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Oder anders ausgedrückt: Man muss auf jeder Seite der Waage die gleiche mathematische Operation ausführen. Dann kann das ursprünglich vorhandene Gleichgewicht der Waagschalen wieder herstellen.

Soweit die Theorie!

Allerdings kann ich in einer Waagschale keine mathematische Operation vornehmen.

Ich kann lediglich aus einer Zahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn solche Gegenstände in der Waagschale vorhanden sind.

Auf der anderen Seite kann ich nur dann die gleiche Anzahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn in der anderen Waagschale die gleichen Gegenstände vorhanden sind.

Man braucht eine Alternative zum Waagemodell

Die Alternative zum Waagemodell ist die Definition des zu erreichenden Zieles.

Herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem ominösen X versteckt, wäre ein solches Ziel.

Danach kann man sich die Frage stellen: „Wie erreiche ich dieses Ziel?“

Der Lösungsweg ist dann recht einfach und im Grunde immer gleich.
Alle X und deren Begleiter auf eine Seite der Gleichung und alles nicht mit dem X verbundenen Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Das ist aus meiner Sicht ein klarer Auftrag und ein gut erkennbarer Weg.

Dazu noch eine Erläuterung 3X stellen zunächst eine Einheit dar. Dabei gilt, dass die „3“ mit einem Mal (•) mit dem X verbunden ist.

Der Schüler stellt nun in der Gleichung Ordnung her und bringt alle Zahlen, die mit X nicht verbunden sind auf die eine Seite der Gleichung und alle X und die damit verbunden Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Bei diesem Orden gilt eine einzige Regel:

Bringe ich einen Bestandteil der Gleichung auf die andere Seite der Gleichung kehrt sich das Vorzeichen einfach um.
Aus + wird – und aus • wird :.

Zunächst hat es der Schüler nur mit + bzw. – zu tun.
Erst wenn die Sortierung abgeschlossen ist, gewinnt die Aussage, dass das X mit der bei ihm befindlichen Zahl durch • verbunden ist an Bedeutung.

Dieses• wandert mit : auf die andere Seite der Gleichung. Damit ist der Prozess herauszufinden, was sich hinter dem X versteckt erfolgreich abgeschlossen.