Bruchrechnen: Primfaktorenzerlegung

Jetzt kaufen? – Hier klicken!*

Der Hauptnenner

Man stelle sich einmal die folgende Aufgabe vor:

3/7 + 4/5

Mancher wird jetzt möglicherweise denken, dass dies eine einfache Angelegenheit. Ich warne ausdrücklich davor, was jetzt zu lesen ist, ist definitiv falsch. Es dient nur zur Demonstration möglicher Fehler!)

3 +4 = 7;  7 + 5 = 12; folglich: 3/7 + 4/5 =7/12.

Das wäre wirklich zu einfach, wenn es so ginge.
Wer es nicht glauben will, dass obiges falsch ist, der möge einmal seinen Taschenrechner zu Hilfe nehmen und folgendes tun:

3 : 7 =

4: 5 =

Danach müssen die beiden Ergebnisse addiert werden und mit dem Ergebnis aus 7:12 verglichen werden.

Man wird eine nicht unerhebliche Differenz zwischen beiden Ergebnissen erkennen.

Man muss die Bruchzahlen gleichnamig machen, wie der Fachmann sagt oder man muss den Hauptnenner finden.

Wie findet man den Hauptnenner?

Den Hauptnenner findet man mit Hilfe der Zerlegung in Primfaktoren.
Der Hauptnenner errechnet sich aus den vorhandenen Primfaktoren, wobei jeweils nur die höchste Anzahl Berücksichtigung findet.

Zur Erläuterung:
heißt es beim Nenner 1  unter anderem  2 • 3 und bei Nenner 2:  2•2•5, so werden für den Hauptnenner nur gebraucht:   2•2•5•3
Die 2 des ersten Nenners braucht man nicht, weil diese beim zweiten Nenner schon vorhanden ist.

Im obigen Beispiel:

3/7 + 4/5 erkennt man bei der Zerlegung in Primfaktoren, dass sowohl die 7 als auch die 5 Primzahlen sind.

Man benötigt also beide um den Hauptnenner zu erreichen. Dieser beträgt in diesem Falle: 7 • 5 = 35.

Man muss also den Nenner 7 mit 5 und den Nenner 5 mit 7 multiplizieren.

Unausgerechnet sieht das so aus:

3•5/7•5 + 4•7/5•7

Zwischenergebnis: 15/35 + 28/35 = 43/35

Vergleichen Sie das einmal mit ihrem obigen Ergebnis und Sie werden bis auf kleine Rundungsdifferenzen zum gleichen Ergebnis gekommen sein.

Zur Wiederholung aus dem vorherigen Beitrag:

Die Zerlegung der Nenner in Primfaktoren ist eine sehr hilfreiche Angelegenheit beim Finden des Hauptnenners, dies insbesondere dann,
wenn man nicht mit „unheimlich großen“ und damit schlecht handbaren
Hauptnennern arbeiten will. Beim Üben der Zerlegung in Primfaktoren
entwickelt sich ein Gefühl für die Zusammenhänge der Zahlen. Dies hilft
beim Kürzen von Brüchen und später dann auch bei der Prozent-/Zins-
und Promillerechnung.

Weiterlesen…