Geometrie: Punkt, Gerade, Strahl, Strecke, Winkel

 

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Gerade, Strahl, Strecke

Gerade Linien unterscheiden sich nach Gerade, Strahl, Strecke.
Jede dieser Linien hat ihre eigenen Merkmale

Ein Stahl hat einen Anfangspunkt und ist in seiner Richtung unbestimmt.
Er kann unendlich lang sein.

Eine Gerade hat eine Richtung. Zwei Punkte legen diese Richtung fest.
Die Gerade kennt keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt.

Eine Strecke unterscheidet sich von beiden.
Wie eine Gerade ist sie durch zwei Punkte in ihrer Richtung festgelegt.
Sie hat aber einen Anfangspunkt und einen Endpunkt.

Warum fällt die Geometrie vielen Schülern leichter?

Vielen Schülern fällt die Geometrie leichter als das Rechnen mit Zahlen.
Das liegt vermutlich daran, weil die Geometrie sehr oft „Handarbeit“ erfordert.
Tätigkeiten mit der Hand können von vielen leichter durchgeführt werden.

Wer nur einigermaßen geschickt mit Lineal, Zirkel und Winkelmesser umgehen kann, wird sehr viele Aufgaben im Bereich der Geometrie erfolgreich lösen können.

Für viele ist die Geometrie auch viel näher am praktischen Leben. Fast täglich muss man etwas messen.
Jeder von uns hat Pläne. Ehe wir diese umsetzen können, brauchen wir oftmals Planzeichnungen.
Geometrische Zeichnungen sind oftmals die Grundlage von Plänen. Letztere werden von Technischen Zeichnern, Ingenieuren und Architekten zusammengestellt und bilden dann die theoretische Arbeitsgrundlage.

Maurer, Schreiner und noch viele andere müssen nach diesen Plänen vorgehen.

Auch in der Geometrie gibt es viel Theorie

Wenn beispielsweise eine Einfriedigungsmauer gebaut werden soll, braucht man die Maße für das Einschalungsmaterial.
Die Menge des benötigten Baumaterials muss ermittelt werden. Verläuft diese Einfriedigungsmauer im Kreis, ist sowohl eine exakte Zeichnung als auch eine genaue Berechnung wichtig.

Die Konstruktion eines Dreiecks mit Hilfe eines Lineals, eines Zirkels manchmal auch mit einem Winkelmesser bildet die Grundlage für die Konstruktion von anderen Flächen.

Mir ist im Moment – mit Ausnahme der von einem Kreis abgeleiteten Flächen – bekannt, die man ohne die Konstruktion von Dreiecken zeichnerisch herstellen könnte.

Diese fachspezifischen Grundlagen werden im Geometrieunterricht geschaffen.

Haptische Hilfen hierzu gibt es hier:

https://clix.superclix.de/cgi-bin/eclix.cgi?id=Aristoteles&pp=4645&linknr=19904

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Geometrie: Die Winkeleigenschaften

 

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Winkel gibt es viele und die haben doch recht unterschiedliche Eigenschaften.

Man unterscheidet spitze Winkel, rechte Winkel, gestreckte, überstumpfe und stumpfe Winkel.

Das Dreieck hat eine Winkelsumme von 180°, was bedeutet, dass die drei Winkel des Dreiecks in der Summe 180° ergeben. Das hilft bei den späteren Konstruktionsaufgaben, um ggf. den 3.Winkel zu berechnen, wenn man die anderen beiden kennt.

Doch darum geht es dieser Stelle nicht.

 

 

Textaufgaben: Der Horror für Schüler schlechthin!

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Textaufgaben

Textaufgaben allein dieser Begriff treibt manchem Schüler erhebliche Mengen Schweißperlen auf das Gesicht. Ängste machen sich breit.
Ein geübtes automatisiertes Vorgehen kann nahezu alle Textaufgaben lösbar machen.

Welche Informationen teilt die Textaufgabe mit?

Dieser ist der erste und meines Erachtens wichtigste Schritt zu Lösung der Textaufgabe.

Man wendet hiefür unterschiedliche Techniken an.

  1. Der Schüler unterstreicht die wichtigen Angaben mit einer Farbe.

    Ich selbst mag dieses Vorgehen nicht. Das ist Geschmackssache .abtun.

    Was soll der Schüler eigentlich unterstreichen?

    Der Schüler soll die Informationen unterstreichen, die für die Lösung der Aufgabe wichtig sind.
    Damit kann der Schüler nicht viel anfangen.
    Vereinfacht möchte ich formulieren: Alle Informationen, die durch irgendeine Zahl begleitet werden, sind wichtig.
    Mit diesem Kriterium kann man sehr viele Aufgaben schon mal gut angehen.

    Sollte es später als nicht wichtig herausstellen, kann man diesen unterstrichenen Teil einfach weglassen.

    Ich bevorzuge einen anderen Ansatz

    Der Schüler notiert sich diese Dinge unter einer Art Zwischenüberschrift.
    entweder:

    Gegeben:
    oder
    Wir wissen:
    Beides steht für mich gleichberechtigt nebeneinander.

  2. Der Schüler fixiert das Ziel

    Der Schüler filtert aus dem Text heraus, was er berechnen soll. Schafft er  dies nicht direkt aus dem Text, so bietet sich an schon gefundenen Informationen in Form einer Zeichnung usw. zu veranschaulichen.

    Dieser Weg bietet sich insbesondere bei Konstruktionsaufgaben in der Geometrie.
    Schriftlich fixiert man dieses Ziel:

    entweder:
    Gesucht:
    oder
    Wir wollen wissen:
    Beides steht für mich gleichberechtigt nebeneinander.

     

  3. Lösungsweg oder Wortansatz

    Diesen Punkt werden Sie selten bis nie in den Lehrbüchern oder Arbeitsmaterialien finden.
    Und gerade dieser Punkt ist aus meiner Sicht der wichtigste.
    Ich muss mir selbst darüber im Klaren sein:
    Welche mathematischen Operationen muss ich durchführen?
    In welcher Reihenfolge muss ich diese durchführen?
    Beherrsche ich dies, kann ich eine Maschine mit der Durchführung der Berechnungen zu beauftragen.

  4. Rechnung

    Die Rechnung wird einfach durchgeführt.

 

Antwort

Hier formuliert der Schüler seine Antwort mit einem vollständigen Satz.

Machmal sind die Formulierungen in den Textaufgaben nicht so klar und eindeutig.

Das Video zeigt schon mal wirklich gute Ansätze. Insbesondere kann die Zeichnung die Aufgabenstellung leichter erfassbar machen.

Verwendet man eine von Anfang an klar festgelegte Struktur, werden die Textaufgaben lösbar.

 

 

Prozentrechnung mit Dreisatz

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Prozentrechnung mit Dreisatz

Prozentrechnung mit Dreisatz gehört zu denjenigen Kapiteln, die manchen Schülern nicht unerhebliche Schwierigkeiten bereiten.

Allgemein ist der Dreisatz im Zusammenhang mit der Prozentrechnung sehr beliebt. Denn die Darstellung erscheint sehr übersichtlich und überschaubar. Das in der Darstellung verwendete mathematische Zeichen kann ich leider in WP nicht darstellen.

Das ist das mathematische Zeichen für entspricht. Es steht mir in WordPress weder im Standardzeichenseitz noch als Sonderzeichen zur Verfügung. Ich kann es also nur als Grafik abbilden. Im weiteren Text steht dafür das Wort „entspricht“.

Man schreibt:

100% entspricht   400€ (als Beispiel)
1% entspricht        4€
15% entspricht        60€

Diese Darstellung ist sehr übersichtlich und scheint für jeden gut verständlich.

Ist das mit dem Dreisatz wirklich so klar, wie es aussieht?

Ich habe da erhebliche Zweifel. Denn man muss bestimmen was der Grundwert ist.
In diesem Beispiel sind es die 400€.

Es könnte aber beispielsweise in einer Textaufgabe heißen: Der Preis wurde um 20% erhöht. Der Gegenstand kostet jetzt 40€ mehr.

Genau hier beginnt das Problem.
Diese 40€ sind nicht der Grundwert, sondern der der Prozentwert.

Da aber der Dreisatz so schön einfach, so übersichtlich ist, beginnen viele so:

100% entspricht    40€ (als Beispiel)
1% entspricht     0,4€
20% entspricht        ??€

Sie werden ganz klar erkannt haben, dass dies falsch ist.
Es ist Ihnen klar, dass der richtige Ansatz so aussehen müsste:

20% entspricht    40€ (als Beispiel)
1% entspricht      2€
100% entspricht    ??€

Der so übersichtliche Dreisatz führt zu einer unerwünschten Automatik.
Da kommt dann auch das Problem auf, was ich wodurch dividieren muss.

Diesen Problemen will ich mit meinem Ansatz entgegentreten!

Das im Video zeigt, wie einfach das Prozentrechnen mit Dreisatz aussieht.

Aber was ist der Dreisatz eigentlich?

Es ist ein Vorgehen, bei  dem man von einem Mehrfachen auf das Einfache schließt und vom Einfachen wieder auf ein abweichendes Mehrfaches schließt.

So weit dürfte das Vorgehen leicht zu verstehen sein.
Diese Technik begegnet uns in vielen Bereichen der Mathematik.

In Verbindung mit einer Checkliste halte ich ein anderes Vorgehen für besser.

Die Checkliste soll helfen, herauszufinden, welche der drei Größen:

Grundwert – Prozentwert- Prozentsatz gegeben und welcher gesucht ist.

Dazu gehört dann auch noch eine Strategie, die keinen Zweifel über die notwendigen mathematischen Operationen zulässt.

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Promillerechnung

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Promillerechnung

Jeder hat schon einmal was von Promille gehört und verbindet dies mit dem Alkoholgehalt im Blut.

Jeder Autofahrer möchte grundsätzlich nur so viele Alkohol zu sich nehmen, dass er nach den Vorstellungen des Gesetzgebers noch fahrtüchtig ist.

Dazu hat der Gesetzgeber einen Grenzwert festgesetzt. Wie hoch dieser aktuell ist, entzieht sich meiner Kenntnis.

Dieser Wert spielt für mich persönlich nämlich keine Rolle, da ich so gut wie nie Alkohol genieße.

Wo ist noch von Promille die Rede?

Sehr viel häufiger als im Verkehr wird Promille bei medizinischen und chemischen Vorgängen gebraucht.

Der Promillewert gibt dann an, wie viele Tausendstel eines Stoffes in einem Medikament oder einen Werkstoff enthalten sind.

Insbesondere in der Medizin ist dies eine sehr kritische Angelegenheit. Sind die Bestandteile eines Elementes zu niedrig, tritt die gewünschte Wirkung nicht ein. Die angestrebte Heilung des Kranken unterbleibt.

Ist hingegen die Menge des Elementes in der Mischung zu hoch, kann dies zur Vergiftung des Patienten ggf. sogar zu dessen Tode führen. Beides ist wohl absolut unerwünscht.

Promillewerte bei der Produktion von Werkstoffen

Werkstoffe aller Art sind meistens keine einheitliche Stoffe, sondern von vielen Elementen zusammengesetzt.
Um bestimmte Eigenschaften zu erzielen, muss ein Element in einer ganz bestimmten Größenordnung vorhanden sein.

Nur wenn diese Größenordnung auch einhalten wird, erhält man die notwendige Festigkeit.

Im Automobilbau braucht man die Verformbarkeit, um verletzende Energien bei Zusammenstößen und bei Aufprällen aufzufangen.

Rechnen mit Promille (‰)

Hierzu gibt es nur ganz wenig zu schreiben. Denn Promillerechnung ist im Grunde Prozentrechnung. Hierbei wird die 100 durch 1 000 ersetzt. Statt vom Prozentwert spricht man vom Promillewert.

Auch hier wird gerne der Dreisatz angewandt.
Die Stolperfallen entsprechen denjenigen, denen man schon bei der Prozentrechnung begegnet ist.

Ich für meine Person ziehe allerdings einen Ansatz vor, beim der rechnerische Ablauf vorgegeben ist.

Man soll sich nicht fragen müssen:

Wo muss ich dividieren?
Wo muss ich multiplizieren?

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Zinsrechnung: Was sind eigentlich Zinsen?

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Zinsen

Was sind nun eigentlich Zinsen.
Zinsen gibt als Guthabenzinsen oder Darlehenszinsen. Man könnte sie als eine Art Gebühr bezeichnen, die für das Verleihen von Geld entrichtet wird.

Wer von einem anderen Geld leiht, muss diesem Kreditzinsen oder Darlehenszinsen bezahlen.

Derjenige, der das Geld verleiht, erhält dafür die Guthabenzinsen.

Wo begegnen uns die Zinsen noch?

Das Wort Zinsen ist in aller Munde.

Da ist von einem Rechnungszins bei den Lebensversicherungen die Rede. Damit kalkulieren die Versicherungsunternehmen die Vergütungen für die Prämien, die die Versicherten bezahlen und die dann die vertragliche Ablaufleistung = Auszahlung am Ende des Versicherungsvertrages ergeben.

Dann gibt es den sogenannten Leitzins der beispielsweise von der Europäischen Zentralbank festgesetzt wird.

Außerdem gibt es noch die 0-Zins-Politik. Da werden für Anlagebeträge keine Zinsen mehr bezahlt oder auch derjenige, der sich Geld leiht (Kredite, Darlehen) braucht keine Zinsen zu bezahlen.

Inzwischen ist auch immer wieder von Negativzinsen die Rede.

Was Zinsen sind erklärt das Video sehr gut.

Der Leitzins wird von den Zentralbanken festgesetzt. Näheres kann man hier nachlesen!

Das Geld das bei der Bank deponiert ist, dem Wirtschaftskreislauf. Deshalb, gibt es immer mehr Banken, die einen Negativzins berechnen. Bezahlen kann man das nicht nennen, sondern dieser Zins wird vom Anlagekapital abgezogen.

Man will man erreichen, dass die Menschen das Geld nicht mehr zur Bank bringen, sondern lieber Waren kaufen. Dieser Vorgang sorgt für Beschäftigung.

Waren werden hergestellt, transportiert, gelagert und verkauft.
An diesem Kreislauf sind viele Personen beteiligt.
Jede dieser Personen, erhält dafür eine Belohnung
Mit dieser er selbst wieder andere Waren kaufen und so den Kreislauf stabil halten kann.

Besteuerung der Zinsen

Der Staat sieht die Zinsen als eine Einkommensart und erhebt abzüglich bestimmter Freibeträge eine Steuer.
Finanzexperten streiten über diese Steuer teilweise heftig. Das zinsbringende Geld wurde einmal versteuert.

Diese Zinsbesteuerung ist für manche Mitbürger der Anlass mit dem Vermögen ins Ausland zu gehen.

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Gleichungen: Wie man Gleichungen unter Verwendung des Waagemodells löst

 

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Gleichungslehre mit Waagemodell

Gleichungslehre mit Waagemodell ist seit Jahrzehnten der Ansatz die Schüler mit Gleichungen vertraut zu machen.

Man will an der Waage erklären, wie sich Änderungen auf der einen Seite der Waage auf deren anderen Seite auswirken müssen.

In den meisten Fällen wird aber nicht konkret mit einer tatsächlichen Waage gearbeitet, sondern nur mit Abbildungen der Waage.

Gleichungen mit Waagemodell einzuführen, halte ich für problematisch.

Anhand dieses Bildes werde ich die Problematik erklären.
Wir sehen in der einen Waagschale einen Apfel, in der anderen Waagschale eine Paprika.

Bei der Einführung in die Gleichung mit Hilfe des Waagemodells erklärt man, dass man auf der einen Seite der Waage beispielsweise etwas wegnehmen muss. Der Schüler soll das, was er wegnimmt rechts von der Gleichung hinter einem Strich / notieren. Dabei muss er auch das richtige Vorzeichen dazu schreiben.

Konkret!
Was soll der Schüler am Apfel wegnehmen?
Wie soll er das notieren?

Die Handlungen an der Waage werden nur in Gedanken, aber nicht mit der Hand vorgenommen.

Meines Erachtens erkennt man deutlich, dass dieses Wegnehmen in der Praxis so nicht funktionieren kann.

Das Waagemodell versucht einen Vorgang, der eigentlich nur auf der geistigen Ebene stattfindet, durch die Vorstellung einer tatsächlichen Handlung verständlich zu machen.

Dem Schüler wird eine konkrete Handlung nur vorgegaukelt.

Der Schüler befindet sich gedanklich zunächst auf einer höheren Abstraktionsebene.

Aus dieser wird er herausgerissen. Er muss sich auf die Ebene einer scheinbar praktischen Handlung begeben.

Vor dort versucht man ihn wieder auf die Abstraktionsebene zu bringen, auf der er sich schon befand.

Dieser Weg ist üblich.

Allerdings sind manche Schüler damit überfordert.

Sie bleiben auf Ebene des gedachten Handlung an Waage stehen.
Der Sprung auf die rein rationale Ebene der abstrakten mathematischen Operation gelingt ihnen nicht.

Mein Anliegen ist es, diesen Problemen aus dem Wege zu gehen.
Lösungen sollen meiner Meinung diese Probleme erst gar nicht aufkommen lassen.

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Gleichungen und das Waagemodell

 

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Gleichung — kein Teufelswerk

Gleichung — kein Teufelswerk. Zu dieser Erkenntnis müssen die Schülern gelangen. Erst dann, wenn sich diese Überzeugung festgesetzt hat, wird der Umgang mit Gleichungen zu einer Art Kinderspiel.
Für mich ist es nicht so richtig nachvollziehbar, warum Schüler beim Wort Gleichungen rot sehen.

Warum eigentlich?

Ich denke, es liegt mit am „kindgerechten Waagemodell“, das hier  im Video sehr genau dargestellt wird.

Warum führt das „Waagemodell“ zu diesen Problemen?

Das Waagemodell zeigt, dass man auf beiden Seiten der Waage die gleiche mathematische Operation durchführen muss, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Oder anders ausgedrückt: Man muss auf jeder Seite der Waage die gleiche mathematische Operation ausführen. Dann kann das ursprünglich vorhandene Gleichgewicht der Waagschalen wieder herstellen.

Soweit die Theorie!

Allerdings kann ich in einer Waagschale keine mathematische Operation vornehmen.

Ich kann lediglich aus einer Zahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn solche Gegenstände in der Waagschale vorhanden sind.

Auf der anderen Seite kann ich nur dann die gleiche Anzahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn in der anderen Waagschale die gleichen Gegenstände vorhanden sind.

Man braucht eine Alternative zum Waagemodell

Die Alternative zum Waagemodell ist die Definition des zu erreichenden Zieles.

Herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem ominösen X versteckt, wäre ein solches Ziel.

Danach kann man sich die Frage stellen: „Wie erreiche ich dieses Ziel?“

Der Lösungsweg ist dann recht einfach und im Grunde immer gleich.
Alle X und deren Begleiter auf eine Seite der Gleichung und alles nicht mit dem X verbundenen Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Das ist aus meiner Sicht ein klarer Auftrag und ein gut erkennbarer Weg.

Dazu noch eine Erläuterung 3X stellen zunächst eine Einheit dar. Dabei gilt, dass die „3“ mit einem Mal (•) mit dem X verbunden ist.

Der Schüler stellt nun in der Gleichung Ordnung her und bringt alle Zahlen, die mit X nicht verbunden sind auf die eine Seite der Gleichung und alle X und die damit verbunden Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Bei diesem Orden gilt eine einzige Regel:

Bringe ich einen Bestandteil der Gleichung auf die andere Seite der Gleichung kehrt sich das Vorzeichen einfach um.
Aus + wird – und aus • wird :.

Zunächst hat es der Schüler nur mit + bzw. – zu tun.
Erst wenn die Sortierung abgeschlossen ist, gewinnt die Aussage, dass das X mit der bei ihm befindlichen Zahl durch • verbunden ist an Bedeutung.

Dieses• wandert mit : auf die andere Seite der Gleichung. Damit ist der Prozess herauszufinden, was sich hinter dem X versteckt erfolgreich abgeschlossen.

 

 

Malnehmen und Teilen: Schriftliche Multiplikation

 

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Schriftliche Multiplikation

Schriftliche Multiplikation ist nicht besonders schwierig.
Im Grunde setzt diese nur die Beherrschung des kleinen 1 x 1 voraus.
Noch deutlicher formuliert: Es muss immer nur eine Zahl zwischen 0 und 9 mit einer Zahl zwischen 0 und 9 multipliziert werden.

Wem dies schwer fällt, sollte sich die entsprechenden Reihen noch einem gründlich anschauen und versuchen sich diese Reihen erneut einzuprägen.

Das Kind sollte soweit kommen, dass es die Ergebnisse dieser Aufgaben automatisch abrufen kann, ohne dass es hierzu noch lange überlegen muss.

Aufschreibregeln bei der schriftlichen Multiplikation.

Vorab noch ein Tipp:
Man darf bei einer Multiplikation die beiden Faktoren vertauschen. Dabei verstößt man nicht gegen eine Regel zu verstoßen.
Warum sollte man das machen?
Es erspart Schreibarbeit, wenn man den kleineren Faktor an die zweite Stelle setzt.
Dies trägt auch zur Übersichtlichkeit bei.

Durchführung:

Man beginnt mit der ersten Stelle des zweiten Faktors und multipliziert diesen mit der letzten Stelle des ersten Faktors.
Ist das Ergebnis einstellig, so schreibt man dies unter die Linie —.
Hat man aber ein zweistelliges Ergebnis, so schreibt man nur die zweite Stelle auf. Die erste Stelle merkt man sich und addiert diese dann zum Ergebnis der zweiten Multiplikationsaufgabe.

Nun multipliziert man die erste Stelle des zweiten Faktors mit der vorletzten Stelle des ersten Faktors. Zu Ergebnis addiert man das, was man sich zuvor gemerkt hatte. Vom so erhaltenen Ergebnis notiert man nur die hintere Stelle. Dies muss links vor dem schon notierten Ergebnis stehen.
Ansonsten geht man so vor wie beschrieben.
Hat man auf diese Weise jede Stelle des ersten Faktors mit der ersten Stelle des zweiten Faktors multipliziert, geht man mit der zweiten Stelle des zweiten Faktors genauso vor.
Achtung: Beim Aufschreiben des neuen Ergebnisses muss die erste aufzuschreibende Zahl eine Zeile tiefer und eine Stelle weiter rechts stehen.

Dies wiederholt sich so oft, bis jede Stelle des zweiten Faktors bearbeitet worden ist.
Die untereinander stehenden Notierungen müssen für das Endergebnis nur noch addiert werden.

Eine Regel gilt es jedoch noch zu beachten. Dein Ergebnis hat immer so viele Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen haben.

Beispiel: 2,7 × 3,8 muss im Ergebnis zwei Nachkommastellen haben!

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Malnehmen und Teilen: Auch bei der schriftlichen Division müssen die Stellenwerte genau beachtet werden.

 

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Stellenwerte

Bei der schriftlichen Division muss man genau auf die Stellenwerte achten und das wird diesem Video vorbildlich dargestellt!

Deswegen kann meines Erachtens an dieser Stelle auf weitere Ausführungen verzichtet werden.

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