Geometrie: Die Winkeleigenschaften

 

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Winkel gibt es viele und die haben doch recht unterschiedliche Eigenschaften.

Man unterscheidet spitze Winkel, rechte Winkel, gestreckte, überstumpfe und stumpfe Winkel.

Das Dreieck hat eine Winkelsumme von 180°, was bedeutet, dass die drei Winkel des Dreiecks in der Summe 180° ergeben. Das hilft bei den späteren Konstruktionsaufgaben, um ggf. den 3.Winkel zu berechnen, wenn man die anderen beiden kennt.

Doch darum geht es dieser Stelle nicht.

 

 

Textaufgaben: Der Horror für Schüler schlechthin!

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Textaufgaben

Textaufgaben allein dieser Begriff treibt manchem Schüler erhebliche Mengen Schweißperlen auf das Gesicht. Ängste machen sich breit.
Ein geübtes automatisiertes Vorgehen kann nahezu alle Textaufgaben lösbar machen.

Welche Informationen teilt die Textaufgabe mit?

Dieser ist der erste und meines Erachtens wichtigste Schritt zu Lösung der Textaufgabe.

Man wendet hiefür unterschiedliche Techniken an.

  1. Der Schüler unterstreicht die wichtigen Angaben mit einer Farbe.

    Ich selbst mag dieses Vorgehen nicht. Das ist Geschmackssache .abtun.

    Was soll der Schüler eigentlich unterstreichen?

    Der Schüler soll die Informationen unterstreichen, die für die Lösung der Aufgabe wichtig sind.
    Damit kann der Schüler nicht viel anfangen.
    Vereinfacht möchte ich formulieren: Alle Informationen, die durch irgendeine Zahl begleitet werden, sind wichtig.
    Mit diesem Kriterium kann man sehr viele Aufgaben schon mal gut angehen.

    Sollte es später als nicht wichtig herausstellen, kann man diesen unterstrichenen Teil einfach weglassen.

    Ich bevorzuge einen anderen Ansatz

    Der Schüler notiert sich diese Dinge unter einer Art Zwischenüberschrift.
    entweder:

    Gegeben:
    oder
    Wir wissen:
    Beides steht für mich gleichberechtigt nebeneinander.

  2. Der Schüler fixiert das Ziel

    Der Schüler filtert aus dem Text heraus, was er berechnen soll. Schafft er  dies nicht direkt aus dem Text, so bietet sich an schon gefundenen Informationen in Form einer Zeichnung usw. zu veranschaulichen.

    Dieser Weg bietet sich insbesondere bei Konstruktionsaufgaben in der Geometrie.
    Schriftlich fixiert man dieses Ziel:

    entweder:
    Gesucht:
    oder
    Wir wollen wissen:
    Beides steht für mich gleichberechtigt nebeneinander.

     

  3. Lösungsweg oder Wortansatz

    Diesen Punkt werden Sie selten bis nie in den Lehrbüchern oder Arbeitsmaterialien finden.
    Und gerade dieser Punkt ist aus meiner Sicht der wichtigste.
    Ich muss mir selbst darüber im Klaren sein:
    Welche mathematischen Operationen muss ich durchführen?
    In welcher Reihenfolge muss ich diese durchführen?
    Beherrsche ich dies, kann ich eine Maschine mit der Durchführung der Berechnungen zu beauftragen.

  4. Rechnung

    Die Rechnung wird einfach durchgeführt.

 

Antwort

Hier formuliert der Schüler seine Antwort mit einem vollständigen Satz.

Machmal sind die Formulierungen in den Textaufgaben nicht so klar und eindeutig.

Das Video zeigt schon mal wirklich gute Ansätze. Insbesondere kann die Zeichnung die Aufgabenstellung leichter erfassbar machen.

Verwendet man eine von Anfang an klar festgelegte Struktur, werden die Textaufgaben lösbar.

 

 

Prozentrechnung mit Dreisatz

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Prozentrechnung mit Dreisatz

Prozentrechnung mit Dreisatz gehört zu denjenigen Kapiteln, die manchen Schülern nicht unerhebliche Schwierigkeiten bereiten.

Allgemein ist der Dreisatz im Zusammenhang mit der Prozentrechnung sehr beliebt. Denn die Darstellung erscheint sehr übersichtlich und überschaubar. Das in der Darstellung verwendete mathematische Zeichen kann ich leider in WP nicht darstellen.

Das ist das mathematische Zeichen für entspricht. Es steht mir in WordPress weder im Standardzeichenseitz noch als Sonderzeichen zur Verfügung. Ich kann es also nur als Grafik abbilden. Im weiteren Text steht dafür das Wort „entspricht“.

Man schreibt:

100% entspricht   400€ (als Beispiel)
1% entspricht        4€
15% entspricht        60€

Diese Darstellung ist sehr übersichtlich und scheint für jeden gut verständlich.

Ist das mit dem Dreisatz wirklich so klar, wie es aussieht?

Ich habe da erhebliche Zweifel. Denn man muss bestimmen was der Grundwert ist.
In diesem Beispiel sind es die 400€.

Es könnte aber beispielsweise in einer Textaufgabe heißen: Der Preis wurde um 20% erhöht. Der Gegenstand kostet jetzt 40€ mehr.

Genau hier beginnt das Problem.
Diese 40€ sind nicht der Grundwert, sondern der der Prozentwert.

Da aber der Dreisatz so schön einfach, so übersichtlich ist, beginnen viele so:

100% entspricht    40€ (als Beispiel)
1% entspricht     0,4€
20% entspricht        ??€

Sie werden ganz klar erkannt haben, dass dies falsch ist.
Es ist Ihnen klar, dass der richtige Ansatz so aussehen müsste:

20% entspricht    40€ (als Beispiel)
1% entspricht      2€
100% entspricht    ??€

Der so übersichtliche Dreisatz führt zu einer unerwünschten Automatik.
Da kommt dann auch das Problem auf, was ich wodurch dividieren muss.

Diesen Problemen will ich mit meinem Ansatz entgegentreten!

Das im Video zeigt, wie einfach das Prozentrechnen mit Dreisatz aussieht.

Aber was ist der Dreisatz eigentlich?

Es ist ein Vorgehen, bei  dem man von einem Mehrfachen auf das Einfache schließt und vom Einfachen wieder auf ein abweichendes Mehrfaches schließt.

So weit dürfte das Vorgehen leicht zu verstehen sein.
Diese Technik begegnet uns in vielen Bereichen der Mathematik.

In Verbindung mit einer Checkliste halte ich ein anderes Vorgehen für besser.

Die Checkliste soll helfen, herauszufinden, welche der drei Größen:

Grundwert – Prozentwert- Prozentsatz gegeben und welcher gesucht ist.

Dazu gehört dann auch noch eine Strategie, die keinen Zweifel über die notwendigen mathematischen Operationen zulässt.

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Zinsrechnung: Was sind eigentlich Zinsen?

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Zinsen

Was sind nun eigentlich Zinsen.
Zinsen gibt als Guthabenzinsen oder Darlehenszinsen. Man könnte sie als eine Art Gebühr bezeichnen, die für das Verleihen von Geld entrichtet wird.

Wer von einem anderen Geld leiht, muss diesem Kreditzinsen oder Darlehenszinsen bezahlen.

Derjenige, der das Geld verleiht, erhält dafür die Guthabenzinsen.

Wo begegnen uns die Zinsen noch?

Das Wort Zinsen ist in aller Munde.

Da ist von einem Rechnungszins bei den Lebensversicherungen die Rede. Damit kalkulieren die Versicherungsunternehmen die Vergütungen für die Prämien, die die Versicherten bezahlen und die dann die vertragliche Ablaufleistung = Auszahlung am Ende des Versicherungsvertrages ergeben.

Dann gibt es den sogenannten Leitzins der beispielsweise von der Europäischen Zentralbank festgesetzt wird.

Außerdem gibt es noch die 0-Zins-Politik. Da werden für Anlagebeträge keine Zinsen mehr bezahlt oder auch derjenige, der sich Geld leiht (Kredite, Darlehen) braucht keine Zinsen zu bezahlen.

Inzwischen ist auch immer wieder von Negativzinsen die Rede.

Was Zinsen sind erklärt das Video sehr gut.

Der Leitzins wird von den Zentralbanken festgesetzt. Näheres kann man hier nachlesen!

Das Geld das bei der Bank deponiert ist, dem Wirtschaftskreislauf. Deshalb, gibt es immer mehr Banken, die einen Negativzins berechnen. Bezahlen kann man das nicht nennen, sondern dieser Zins wird vom Anlagekapital abgezogen.

Man will man erreichen, dass die Menschen das Geld nicht mehr zur Bank bringen, sondern lieber Waren kaufen. Dieser Vorgang sorgt für Beschäftigung.

Waren werden hergestellt, transportiert, gelagert und verkauft.
An diesem Kreislauf sind viele Personen beteiligt.
Jede dieser Personen, erhält dafür eine Belohnung
Mit dieser er selbst wieder andere Waren kaufen und so den Kreislauf stabil halten kann.

Besteuerung der Zinsen

Der Staat sieht die Zinsen als eine Einkommensart und erhebt abzüglich bestimmter Freibeträge eine Steuer.
Finanzexperten streiten über diese Steuer teilweise heftig. Das zinsbringende Geld wurde einmal versteuert.

Diese Zinsbesteuerung ist für manche Mitbürger der Anlass mit dem Vermögen ins Ausland zu gehen.

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Zinsrechnung: Wie berechnet man die Zinsen?

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Im Zinsberechnung

Zinsberechnung ist eigentlich die Berechnung des Prozentwertes.
Dieser wird nunmehr als Zins bezeichnet.

Dieser Prozentwert wrid och vom Faktor Zeit beeinflusst wird.

Ansonsten müssen nur Begriffe ausgetauscht werden:

Der Prozentwert wird durch Zinsen ersetzt.
Der Prozentsatz wird durch den Zinssatz oder auch Zinsfuß ersetzt.
Der Grundwert heißt nun Kapital oder Darlehen.

Welche Zeitfaktoren gibt es?

Man unterscheidet Tageszinsen, Monatszinsen und Jahreszinsen. Bezüglich dieser Zeiträume gilt es regional unterschiedliche Vereinbarungen.

Im deutschsprachigen Raum gibt es die Vereinbarungen:

1 Jahr hat grundsätzlich 360 Tage.

Jeder Monat hat 30 Tage. Dies gilt auch für den Februar. Muss man bei der Berechnung der Zinstage über das Ende des Monats Februars hinausgehen, so wird dieser mit 30 Tagen berücksichtigt. Ansonsten gilt eine taggenaue Berechnung.

 

 

Im deutschsprachigen Raum gilt:
ein Jahr hat 360 Tage
ein Monat hat 30 Tage.

Überschreitet, der für die Berechnung maßgebliche Zeitraum das Monatsende, wird auch der Februar mit 30 Tagen berechnet. Siehe Wikipedia.

Nominalzins und Effektivzins.

Das ist ein sehr umfangreiches Thema. Ich bin leider nicht in der Lage genau zu erklären, wie diese Berechnung funktioniert.

Das Ziel der Effektivzinsangabe nach Preisangabeverordnung (Gesetz) soll es dem Kredit ermöglichen, die verschiedenen Kreditangebote vergleichen zu können.

Diese Berechnung berücksichtigt unter den Zeitpunkt der Tilgungsverrechnung.

Bei langlaufenden Hypothekendarlen zahlt man monatlich feste Raten.

Nun kann der eine Darlehensgeber die enthaltene Tilgung sofort von der Restdarlehenssumme abziehen. Im nachfolgenden Monat sind die anfallenden Zinsen bereits geringfügig niedriger.

Andere Darlehensgeber bevorzugen eine jährlich nachträgliche Verrechnung der Tilgung.

Man muss hier keine spezielle Berechnung anstellen. Im zweiten Fall muss man mehr Zinsen bezahlen.

Dieses als pauschale Aussage ist richtig. Manchmal ist diese Aussage auch falsch.

Fordert der zweite Darlehensgeber einen niedrigeren Nominalzins, könnte die nachträgliche Tilgungsverrechnung günstig sein.

Der Nominalzins ist der vertraglich festgelegte Zinssatz. Man legt ihn der Berechnung der Zinsen zu Grunde.

 

Gleichungen: Waagemodell

 

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Das „X“!

Ich kann  mich noch gut an meine eigene Schulzeit erinnern, als ich das erste Mal mit dem „X“ konfrontiert wurde.

Da stellte sich die Frage: „Was ist denn das für ein Ding?“

Meiner Ansicht nach wäre es äußerst wichtig, den Kindern die Angst vor dem „X“ zu nehmen. Man muss den Kindern verdeutlichen, dass dieses seltsame Ding nur ein Platzhalter ist.
Es hält nämlich nur den Platz frei für diejenige Zahl, die bei der Stellung der Aufgabe noch unbekannt ist.
Für die Kinder ist diese Beschreibung hilfreich, wenn man ihnen noch klar machen kann, dass Sie dieses „X“ in anderen Form bereits kennen.

In der Grundschule wurde das „X durch ein Leerzeichen in Form eines kleinen Quadrates dargestellt.
In dieses mussten die Kinder dann die gesuchte Zahl eintragen.

Das „X“ in der Gleichung und die Waage

Wie in einem anderen Beitrag schon ausführlich beschrieben, wird der Schüler im Zusammenhang mit dem Thema Gleichungen mit der Waage konfrontiert.
Er soll dabei in Gedanken konkrete Handlungen vollziehen.

Beispiel für ein Gleichung:

3 X – 5 = 7 + X

nächster Schritt:

3X – X = 7 +5
2x = 12
x= 12:2
X = 6

So geht es ganz einfach. Man muss nicht alle Schritte aufschreiben. Das geschah nur hier, um die Schritte aufzuzeigen.

Der Schüler kann das X nicht anfassen. Er kann es weder entfernen. Auch kann er es nirgends hinzufügen.

Man verlangt vom Schüler, dass er sich eine Handlung vorstellen soll, die er nie und nimmer ausführen kann.

Was will man mit dem Waagemodell erreichen?

Der Schüler soll mit dem Waagemodell erkennen, dass man auf der einen Seite der Waage etwas verändern kann.
Er soll dabei beobachten, wie die Waage dadurch ins Ungleichgewicht gerät.
Da aber meistens die konkrete Waage nicht benutzt wird, findet die Beobachtung nur in Gedanken statt.

Der Schüler soll sich also vorstellen, wie die Waage ins Ungleichgewicht geraten ist.

Seine gedankliche Handlung, die Waage ins Ungleichgewicht zu bringen, hat er rechts von der Gleichung nach einem Strich (/) mit dem richtigen Vorzeichen notiert.

Als weitere Aufgabe soll sich der Schüler nun vorstellen, wie er mit der gleichen Handlung auf der anderen Seite der Waage, diese wieder ins Gleichgewicht bringen kann.

In Gedanken und als mathematische Operation funktioniert das schon.
Aber es ist halt nur in Gedanken und nicht praktisch gehandelt.

 

Ich halte deshalb einen anderen Ansatz für einfacher und sicherer.

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Gleichungen und das Waagemodell

 

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Gleichung — kein Teufelswerk

Gleichung — kein Teufelswerk. Zu dieser Erkenntnis müssen die Schülern gelangen. Erst dann, wenn sich diese Überzeugung festgesetzt hat, wird der Umgang mit Gleichungen zu einer Art Kinderspiel.
Für mich ist es nicht so richtig nachvollziehbar, warum Schüler beim Wort Gleichungen rot sehen.

Warum eigentlich?

Ich denke, es liegt mit am „kindgerechten Waagemodell“, das hier  im Video sehr genau dargestellt wird.

Warum führt das „Waagemodell“ zu diesen Problemen?

Das Waagemodell zeigt, dass man auf beiden Seiten der Waage die gleiche mathematische Operation durchführen muss, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Oder anders ausgedrückt: Man muss auf jeder Seite der Waage die gleiche mathematische Operation ausführen. Dann kann das ursprünglich vorhandene Gleichgewicht der Waagschalen wieder herstellen.

Soweit die Theorie!

Allerdings kann ich in einer Waagschale keine mathematische Operation vornehmen.

Ich kann lediglich aus einer Zahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn solche Gegenstände in der Waagschale vorhanden sind.

Auf der anderen Seite kann ich nur dann die gleiche Anzahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn in der anderen Waagschale die gleichen Gegenstände vorhanden sind.

Man braucht eine Alternative zum Waagemodell

Die Alternative zum Waagemodell ist die Definition des zu erreichenden Zieles.

Herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem ominösen X versteckt, wäre ein solches Ziel.

Danach kann man sich die Frage stellen: „Wie erreiche ich dieses Ziel?“

Der Lösungsweg ist dann recht einfach und im Grunde immer gleich.
Alle X und deren Begleiter auf eine Seite der Gleichung und alles nicht mit dem X verbundenen Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Das ist aus meiner Sicht ein klarer Auftrag und ein gut erkennbarer Weg.

Dazu noch eine Erläuterung 3X stellen zunächst eine Einheit dar. Dabei gilt, dass die „3“ mit einem Mal (•) mit dem X verbunden ist.

Der Schüler stellt nun in der Gleichung Ordnung her und bringt alle Zahlen, die mit X nicht verbunden sind auf die eine Seite der Gleichung und alle X und die damit verbunden Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Bei diesem Orden gilt eine einzige Regel:

Bringe ich einen Bestandteil der Gleichung auf die andere Seite der Gleichung kehrt sich das Vorzeichen einfach um.
Aus + wird – und aus • wird :.

Zunächst hat es der Schüler nur mit + bzw. – zu tun.
Erst wenn die Sortierung abgeschlossen ist, gewinnt die Aussage, dass das X mit der bei ihm befindlichen Zahl durch • verbunden ist an Bedeutung.

Dieses• wandert mit : auf die andere Seite der Gleichung. Damit ist der Prozess herauszufinden, was sich hinter dem X versteckt erfolgreich abgeschlossen.

 

 

Zahlensystem: Addition und Subtraktion bis 10

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Addition und Subtraktion bis 10

Der Zahlenraum von 0 bis 10 ist der Anfang. Hier begegnen die Kinder  erstmals der Addition und  Subtraktion.

Video

In obigem Video sieht man ein paar Rechenaufgaben im Khan Academy Style. Es handelt sich dabei um alles Gleichungen im Zahlenraum bis 10.

Original:

Dieses Video basiert auf den englischen Inhalten der Khan Academy und wurde durch Sunny ins Deutsche übersetzt.

This video is based on English content from Khan Academy.

Lernen mit den Händen und Augen

Gerade dieser Zahlenbereich eignet sich hervorragend, um die Tätigkeiten der Addition und Subtraktion praktisch durchzuführen.

Mögliche Aufgabenstellung A:

Dies ist die eigentliche Einstiegsaufgabe.
Man teilt den Kindern zwei unterschiedliche Anzahlen von Elementen zu. Die Kinder müssen diese Anzahlen notieren.
Anschließend sollen die Kinder alle Elemente zu einer Ansammlung zusammenfügen.Das Ergebnis des Zählens wird dann aufgeschrieben.

Auf diese Art und Weise lernen die Kinder die Addition und Subtraktion kennen.

Mögliche Aufgabenstellung B:

Diese Aufgabenstellung ist bereits eine etwas fortgeschrittener Aufgabenstellung.

Die Kinder müssen aus einer großen Anzahl gleicher Elemente zwei vorgegebene Anzahlen herausnehmen.
Diese Anzahlen müssen in mathematisch üblicher Form notiert werden.

Das Kind verfügt nun über zwei unterschiedliche Bestände an Elementen.
Es muss diese zusammenfügen.
Diese neu entstandene Anzahl wird vom Kind gezählt und als Ergebnis niedergeschrieben.
Insgesamt ist dann die übliche Aufgabe mit Lösung notiert.

Mögliche Aufgabenstellung C:

Hier gibt man den Kindern eine Anzahl von Elementen. Diese müssen gezählt werden. Danach bittet man die Kinder von dieser Anzahl eine andere Anzahl abzugeben und die vorgenommene Tätigkeit in der in der Mathematik üblichen Schreibweise nieder zu schreiben.
Nach Durchführung der Tätigkeiten muss das Kind den Rest der noch vorhandenen Elemente zählen und dieses Zählergebnis entsprechend aufschreiben.

Addition und Subtraktion werden dabei mit den Händen durchgeführt und mit den Augen beobachtet. Es findet also ein Lernen mit Händen und Augen statt.

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Haptische Hilfsmittel für die Erfassung des Zahlenraumes: 0 bis 100 und darüber hinaus

Bruchrechnen: Primzahlen

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Was ist eigentlich eine Primzahl?

Eine Primzahl ist, wie schon das Video erklärt hat, eine Zahl, die man nur durch sich selbst oder durch 1 teilen kann.

Manche sehen die 2 als kleinste Primzahl an.

Je länger man die Zahlenreihe aufbaut, desto größer werden meistens die Abstände zur nächsten Primzahl.
Betrachten Sie sich einmal die nachfolgende Reihe der Primzahlen:

1 – 2 – 3 – 7 – 11 – 13  –  17  – 19 – 23 – 29 – 37 usw.

Aber keine Regel ohne Ausnahme. So ist der Abstand zwischen der 13 und der 17 größer als derjenige zwischen 17 und 19.

Aus meiner Sicht ist es für das gesamte Bruchrechnen von Vorteil, wenn man sich intensiv mit den Primzahlen befasst.

Wann braucht man eine Primzahl?

Wenn man die Kenntnisse im Bruchrechnen systematisch aufbaut,  braucht man die Primzahl.

Ohne die Primzahl wird gezwungen werden, mit Bruchzahlen zu arbeiten, die einen mehrstelligen Nenner haben. Ziel muss es sein, mit Nennern zu arbeiten, die möglichst klein sind.

Diese widerstrebt dem natürlichen Erfahrungshintergrund. Allgemein hat man ja im Leben die Erfahrung gemacht, dass größere Zahlen ein Mehr bedeuten.

Im Bruchrechnen trifft diese Vorstellung nicht zu.
Denn dort ist das Einzelteil um so kleiner, je größer die Zahl unter dem Bruchstrich ist.

Das ist ein eklatanter Widerspruch zu unseren bisherigen Erfahrungen.

Zerlegung in Primfaktoren

Dies wurde und wird immer wieder auftauchen. Es gibt eine Vielzahl von anderen Beiträge, die dieses ansprechen.

Will man Bruchzahlen addieren oder subtrahieren, braucht man einen Hauptnenner.

Bei der Suche des Hauptnenners ist diese Zerlegung sehr hilfreich.

Wie hilft die Zerlegung in Primfaktoren

Das wird in anderen Beiträgen ausführlich erläutert. An dieser Stelle sollen nur wenige Informationen dazu gegeben werden.

Die Zerlegung in Primfaktoren hilft diejenigen Faktoren auszufiltern, die man für die Bildung des Hauptnenners weglassen kann.

Schüler, möglicherweise auch der eine oder andere Erwachsene neigt bei der Bestimmung zu einer Art von Bequemlichkeit.

Diese besteht darin, dass man jeden Zähler (die Zahl auf dem Bruchstrich) mit jedem anderen Nenner multipliziert.

Dieses Vorgehen ist nicht falsch, führt aber zu sehr großen Nennern.

Große Nenner fördern die Unübersichtlichkeit und führen zu einer Häufung von Fehlern.

Weiterlesen….

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https://www.youtube.com/watch?v=liLc-XWQa-Q