Prozentrechnung mit Dreisatz

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Prozentrechnung mit Dreisatz

Prozentrechnung mit Dreisatz gehört zu denjenigen Kapiteln, die manchen Schülern nicht unerhebliche Schwierigkeiten bereiten.

Allgemein ist der Dreisatz im Zusammenhang mit der Prozentrechnung sehr beliebt. Denn die Darstellung erscheint sehr übersichtlich und überschaubar. Das in der Darstellung verwendete mathematische Zeichen kann ich leider in WP nicht darstellen.

Das ist das mathematische Zeichen für entspricht. Es steht mir in WordPress weder im Standardzeichenseitz noch als Sonderzeichen zur Verfügung. Ich kann es also nur als Grafik abbilden. Im weiteren Text steht dafür das Wort „entspricht“.

Man schreibt:

100% entspricht   400€ (als Beispiel)
1% entspricht        4€
15% entspricht        60€

Diese Darstellung ist sehr übersichtlich und scheint für jeden gut verständlich.

Ist das mit dem Dreisatz wirklich so klar, wie es aussieht?

Ich habe da erhebliche Zweifel. Denn man muss bestimmen was der Grundwert ist.
In diesem Beispiel sind es die 400€.

Es könnte aber beispielsweise in einer Textaufgabe heißen: Der Preis wurde um 20% erhöht. Der Gegenstand kostet jetzt 40€ mehr.

Genau hier beginnt das Problem.
Diese 40€ sind nicht der Grundwert, sondern der der Prozentwert.

Da aber der Dreisatz so schön einfach, so übersichtlich ist, beginnen viele so:

100% entspricht    40€ (als Beispiel)
1% entspricht     0,4€
20% entspricht        ??€

Sie werden ganz klar erkannt haben, dass dies falsch ist.
Es ist Ihnen klar, dass der richtige Ansatz so aussehen müsste:

20% entspricht    40€ (als Beispiel)
1% entspricht      2€
100% entspricht    ??€

Der so übersichtliche Dreisatz führt zu einer unerwünschten Automatik.
Da kommt dann auch das Problem auf, was ich wodurch dividieren muss.

Diesen Problemen will ich mit meinem Ansatz entgegentreten!

Das im Video zeigt, wie einfach das Prozentrechnen mit Dreisatz aussieht.

Aber was ist der Dreisatz eigentlich?

Es ist ein Vorgehen, bei  dem man von einem Mehrfachen auf das Einfache schließt und vom Einfachen wieder auf ein abweichendes Mehrfaches schließt.

So weit dürfte das Vorgehen leicht zu verstehen sein.
Diese Technik begegnet uns in vielen Bereichen der Mathematik.

In Verbindung mit einer Checkliste halte ich ein anderes Vorgehen für besser.

Die Checkliste soll helfen, herauszufinden, welche der drei Größen:

Grundwert – Prozentwert- Prozentsatz gegeben und welcher gesucht ist.

Dazu gehört dann auch noch eine Strategie, die keinen Zweifel über die notwendigen mathematischen Operationen zulässt.

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Gleichungen und das Waagemodell

 

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Gleichung — kein Teufelswerk

Gleichung — kein Teufelswerk. Zu dieser Erkenntnis müssen die Schülern gelangen. Erst dann, wenn sich diese Überzeugung festgesetzt hat, wird der Umgang mit Gleichungen zu einer Art Kinderspiel.
Für mich ist es nicht so richtig nachvollziehbar, warum Schüler beim Wort Gleichungen rot sehen.

Warum eigentlich?

Ich denke, es liegt mit am „kindgerechten Waagemodell“, das hier  im Video sehr genau dargestellt wird.

Warum führt das „Waagemodell“ zu diesen Problemen?

Das Waagemodell zeigt, dass man auf beiden Seiten der Waage die gleiche mathematische Operation durchführen muss, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Oder anders ausgedrückt: Man muss auf jeder Seite der Waage die gleiche mathematische Operation ausführen. Dann kann das ursprünglich vorhandene Gleichgewicht der Waagschalen wieder herstellen.

Soweit die Theorie!

Allerdings kann ich in einer Waagschale keine mathematische Operation vornehmen.

Ich kann lediglich aus einer Zahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn solche Gegenstände in der Waagschale vorhanden sind.

Auf der anderen Seite kann ich nur dann die gleiche Anzahl gleicher Gegenstände wegnehmen, wenn in der anderen Waagschale die gleichen Gegenstände vorhanden sind.

Man braucht eine Alternative zum Waagemodell

Die Alternative zum Waagemodell ist die Definition des zu erreichenden Zieles.

Herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem ominösen X versteckt, wäre ein solches Ziel.

Danach kann man sich die Frage stellen: „Wie erreiche ich dieses Ziel?“

Der Lösungsweg ist dann recht einfach und im Grunde immer gleich.
Alle X und deren Begleiter auf eine Seite der Gleichung und alles nicht mit dem X verbundenen Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Das ist aus meiner Sicht ein klarer Auftrag und ein gut erkennbarer Weg.

Dazu noch eine Erläuterung 3X stellen zunächst eine Einheit dar. Dabei gilt, dass die „3“ mit einem Mal (•) mit dem X verbunden ist.

Der Schüler stellt nun in der Gleichung Ordnung her und bringt alle Zahlen, die mit X nicht verbunden sind auf die eine Seite der Gleichung und alle X und die damit verbunden Zahlen auf die andere Seite der Gleichung.

Bei diesem Orden gilt eine einzige Regel:

Bringe ich einen Bestandteil der Gleichung auf die andere Seite der Gleichung kehrt sich das Vorzeichen einfach um.
Aus + wird – und aus • wird :.

Zunächst hat es der Schüler nur mit + bzw. – zu tun.
Erst wenn die Sortierung abgeschlossen ist, gewinnt die Aussage, dass das X mit der bei ihm befindlichen Zahl durch • verbunden ist an Bedeutung.

Dieses• wandert mit : auf die andere Seite der Gleichung. Damit ist der Prozess herauszufinden, was sich hinter dem X versteckt erfolgreich abgeschlossen.

 

 

Bruchrechnen: Primzahlen

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Was ist eigentlich eine Primzahl?

Eine Primzahl ist, wie schon das Video erklärt hat, eine Zahl, die man nur durch sich selbst oder durch 1 teilen kann.

Manche sehen die 2 als kleinste Primzahl an.

Je länger man die Zahlenreihe aufbaut, desto größer werden meistens die Abstände zur nächsten Primzahl.
Betrachten Sie sich einmal die nachfolgende Reihe der Primzahlen:

1 – 2 – 3 – 7 – 11 – 13  –  17  – 19 – 23 – 29 – 37 usw.

Aber keine Regel ohne Ausnahme. So ist der Abstand zwischen der 13 und der 17 größer als derjenige zwischen 17 und 19.

Aus meiner Sicht ist es für das gesamte Bruchrechnen von Vorteil, wenn man sich intensiv mit den Primzahlen befasst.

Wann braucht man eine Primzahl?

Wenn man die Kenntnisse im Bruchrechnen systematisch aufbaut,  braucht man die Primzahl.

Ohne die Primzahl wird gezwungen werden, mit Bruchzahlen zu arbeiten, die einen mehrstelligen Nenner haben. Ziel muss es sein, mit Nennern zu arbeiten, die möglichst klein sind.

Diese widerstrebt dem natürlichen Erfahrungshintergrund. Allgemein hat man ja im Leben die Erfahrung gemacht, dass größere Zahlen ein Mehr bedeuten.

Im Bruchrechnen trifft diese Vorstellung nicht zu.
Denn dort ist das Einzelteil um so kleiner, je größer die Zahl unter dem Bruchstrich ist.

Das ist ein eklatanter Widerspruch zu unseren bisherigen Erfahrungen.

Zerlegung in Primfaktoren

Dies wurde und wird immer wieder auftauchen. Es gibt eine Vielzahl von anderen Beiträge, die dieses ansprechen.

Will man Bruchzahlen addieren oder subtrahieren, braucht man einen Hauptnenner.

Bei der Suche des Hauptnenners ist diese Zerlegung sehr hilfreich.

Wie hilft die Zerlegung in Primfaktoren

Das wird in anderen Beiträgen ausführlich erläutert. An dieser Stelle sollen nur wenige Informationen dazu gegeben werden.

Die Zerlegung in Primfaktoren hilft diejenigen Faktoren auszufiltern, die man für die Bildung des Hauptnenners weglassen kann.

Schüler, möglicherweise auch der eine oder andere Erwachsene neigt bei der Bestimmung zu einer Art von Bequemlichkeit.

Diese besteht darin, dass man jeden Zähler (die Zahl auf dem Bruchstrich) mit jedem anderen Nenner multipliziert.

Dieses Vorgehen ist nicht falsch, führt aber zu sehr großen Nennern.

Große Nenner fördern die Unübersichtlichkeit und führen zu einer Häufung von Fehlern.

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https://www.youtube.com/watch?v=liLc-XWQa-Q