Jetzt kaufen? – Hier klicken!*
KgV und ggT: Ziel der Zerlegung in Primfaktoren
In einem früheren Beitrag wurde der Begriff der Primzahl genau erklärt.
Die Zerlegung in Primfaktoren hilft den Hauptnenner zu finden. Auf diese Anwendung möchte ich zunächst nicht eingehen.
Ich möchte zunächst an Beispielen zeigen, wie eine Zerlegung in Primfaktoren funktioniert. Eine Zerlegung in Primfaktoren ist die Bildung einer Multiplikationsaufgabe, die nur aus Primzahlen besteht.
Beispiel 1:
6 = 2 • 3
Beispiel 2:
12
Jetzt könnte man meinen, dass
12 = 4•3
richtig wäre. Mathematisch ist dies sicherlich richtig, entspricht aber nicht der Vorschrift, dass diese Multiplikation nur aus Primzahlen bestehen darf.
Die richtige Lösung sähe so aus:
12 = 2•2•3
Wir vergleichen mehrere Nenner
Im nun folgenden Abschnitt werden die Nenner 12, 15, 18 verglichen.
Um eine entsprechende Übersichtlichkeit herzustellen, habe ich eine kleine Tabelle erstellt.
| 12 | = | 2 ∙ 2 ∙ | 3 | |
| 15 | = | 3 ∙ | 5 | |
| 18 | = | 2 ∙ | 3 ∙ 3 ∙ | |
| 2 ∙ 2 ∙ | 3 ∙ 3 ∙ | 5 |
Vorab man muss das nicht in eine Tabelle schreiben. Ich habe dies hier getan, um für Übersichtlichkeit zu sorgen. Der Betrachter soll auf einen Blick sehen, worauf es ankommt.
Ein bequemer Schüler, der den Hauptnenner für die Nenner 12 – 15 – 18 suchen soll, rechnet einfach so: 12 ∙ 15 ∙ 18 = 3 240.
Ein Schüler hingegen, der das Zerlegen in Primfaktoren intensiv geübt und verstanden hat, berechnet den Hauptnenner hingegen so:
2 ∙ 2 ∙3 ∙ 3 ∙ 5 =180
Schüler mit einem einigermaßen gut entwickelten Zahlenverständis erkennen sofort, dass sich diese Aufgabe im Kopf wie folgt lösen lässt:
2 ∙ 5 = 10; 3 ∙ 3 = 9; das Ganze mal 2 = 18; 0″“ dran; fertig.
Das geht viel schneller im Kopf als ich dies schreiben konnte.
Ich denke, dass jeder davon überzeugt ist, dass mit einem Hauptnenner 180 leichter zu arbeiten ist, als mit einem Hauptnenner 3240.
Eine andere Bezeichnung für diesen kleinstmöglichen Nenner ist das KGV, eine Abkürzung für den kleinsten gemeinsamen Nenner.
Mein Rat an dieser Stelle:
Akzeptiert einfach das Verfahren der Zerlegung in Primfaktoren.
Übt es häufig! Macht es schriftlich.
Mit der Zeit wird hier sehr vieles automatisieren und man kann auf das schriftliche Zerlegen verzichten.
Die Gewöhnung an dieses Verfahren führt irgendwann einmal zu dem Erlebnis, dass Bruchrechnen im Grunde nichts anderes ist, als eine schöne Spielerei mit Zahlen.
Von mir jedenfalls kann ich behaupten, dass ich dieses Spiel mit den Zahlen sehr gerne betrieben habe.